Processus stochastiques

Leçon 0.1 — Notions fondamentales

• Définition d’un processus stochastique.

• Distinction entre aléatoire, stochastique et déterministe.

• Notion de temps discret et temps continu.

• Exemples concrets issus de la vie réelle.

Leçon 0.2 — Motivation et exemples introductifs

• Problème de la rue de la joie
• Problème d’extension d’une population.

• Lien entre phénomènes réels et modélisation probabiliste.

• Transition vers les chaînes de Markov.

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Chapitre 1 — Chaînes de Markov

Leçon 1.1 — Généralités et définitions

• Présentation historique : grands contributeurs.

• Définition d’une chaîne de Markov.

• Notion d’espace d’états.

• Interprétation probabiliste.

Leçon 1.2 — Chaînes de Markov homogènes

• Définition d’une chaîne de Markov homogène.

• Propriété de mémoire nulle.

• Exemples simples et classiques.

Leçon 1.3 — Modèles fondamentaux

• Notion de marche aléatoire.

• Processus de Galton–Watson.

• Applications aux populations et files.

Leçon 1.4 — Représentation et dynamique

• Graphe de transition d’une chaîne de Markov.

• Matrices de transition.

• Lecture et interprétation graphique.

Leçon 1.5 — Équations et propriétés structurelles

• Équations de Chapman–Kolmogorov.

• Classification des états.

• Chaînes récurrentes et transientes.

Leçon 1.6 — Régularité et comportement asymptotique

• Notion de chaîne de Markov régulière.

• Distribution stationnaire.

• Convergence vers l’équilibre.

Leçon 1.7 — Chaînes de Markov réversibles

• Définition de la réversibilité.

• Condition d’équilibre détaillé.

• Exemples et interprétation physique.

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Chapitre 2 — Processus ponctuels de Poisson

Leçon 2.1 — Introduction et définitions

• Définition d’un processus ponctuel.

• Définition d’un processus de Poisson.

• Hypothèses fondamentales.

Leçon 2.2 — Loi exponentielle

• Définition de la loi exponentielle.

• Propriétés fondamentales.

• Interprétation en temps d’attente.

Leçon 2.3 — Construction du processus de Poisson

• Présentation mathématique du processus.

• Lien entre loi exponentielle et processus de Poisson.

• Exemples concrets.

Leçon 2.4 — Superposition et décomposition

• Superposition de processus de Poisson.

• Indépendance et stabilité.

• Applications pratiques.

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Chapitre 3 — Processus markoviens à temps continu

Leçon 3.1 — Introduction générale

• Définition d’un processus markovien.

• Différence avec les chaînes de Markov discrètes.

• Exemples fondamentaux.

Leçon 3.2 — Structure mathématique

• Notion de matrice .

• Hypothèses techniques.

• Probabilités de transition.

Leçon 3.3 — Générateur infinitésimal

• Définition du générateur de Markov.

• Interprétation dynamique.

• Lien avec l’évolution temporelle.

Leçon 3.4 — Équations fondamentales

• Équations de Kolmogorov (avant et arrière).

• Relation d’échappement.

• Étude qualitative des solutions.

Leçon 3.5 — Comportement à long terme

• Théorème limite.

• Distribution stationnaire.

• Mesures invariantes.

Leçon 3.6 — Réversibilité des processus markoviens

• Processus réversibles.

• Conditions de réversibilité.

• Exemples issus de la physique et des files d’attente.

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Chapitre 4 — Théorie des files d’attente

Leçon 4.1 — Modélisation des systèmes d’attente

• Notion de file d’attente.

• Clients, serveurs et discipline de service.

• Hypothèses de modélisation.

Leçon 4.2 — Modèles markoviens classiques

• Files , .

• Lien avec les processus de Poisson.

• Interprétation probabiliste.

Leçon 4.3 — Performances et régimes stationnaires

• Temps d’attente moyen.

• Longueur moyenne de la file.

• Conditions de stabilité.

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Chapitre 5 — Statistiques mathématiques

Leçon 5.1 — Rappels probabilistes

• Variables aléatoires.

• Lois usuelles.

• Moments et espérance.

Leçon 5.2 — Estimation statistique

• Estimateurs.

• Biais et variance.

• Méthodes classiques.

Leçon 5.3 — Tests statistiques

• Tests d’hypothèses.

• Risque et puissance.

• Applications aux modèles stochastiques.