Mathématiques

Parfait Nono
Par Parfait Nono décembre 15, 2025

Correction détaillée : Méthode d’Euler explicite

Énoncé du problème

On considère l’équation différentielle ordinaire suivante :

x′(t) = 1 + t − x(t),   t > 0,
x(0) = 0

On applique la méthode d’Euler explicite avec un pas h > 0. On note :

tn = n h,   xn ≈ x(tn)

1. Calcul de x1, x2, … et expression de xn

La méthode d’Euler explicite s’écrit, pour une équation de la forme x′(t) = f(t, x(t)) :

xn+1 = xn + h f(tn, xn)

Ici, la fonction est :

f(t, x) = 1 + t − x

Donc la relation de récurrence devient :

xn+1 = xn + h (1 + tn − xn)

On simplifie :

xn+1 = (1 − h) xn + h (1 + tn)

Calcul des premiers termes

On a initialement :

x0 = 0,   t0 = 0

Pour n = 0 :

x1 = (1 − h)·0 + h(1 + 0) = h

Pour n = 1 : (t1 = h)

x2 = (1 − h)h + h(1 + h) = 2h

Pour n = 2 : (t2 = 2h)

x3 = (1 − h)(2h) + h(1 + 2h) = 3h

On observe le motif suivant :

xn = n h

Or, comme tn = n h, on obtient :

xn = tn

2. Calcul de l’erreur locale de troncature

L’erreur locale de troncature mesure l’erreur commise en un seul pas lorsqu’on remplace la solution exacte dans le schéma numérique.

Elle est définie par :

τn = x(tn+1) − x(tn) − h f(tn, x(tn))

On développe x(tn+1) par la formule de Taylor :

x(tn+1) = x(tn) + h x′(tn) + h2⁄2 x″(ξn)

où ξn ∈ (tn, tn+1).

Comme x′(tn) = f(tn, x(tn)), on obtient :

τn = h2⁄2 x″(ξn)

Ainsi, l’erreur locale de troncature est de l’ordre :

τn = O(h2)

3. Justification de l’égalité xn = x(tn)

Résolvons exactement l’équation différentielle :

x′(t) + x(t) = 1 + t

C’est une équation différentielle linéaire du premier ordre. Sa solution exacte est :

x(t) = t

D’après la question 1, la solution numérique donnée par la méthode d’Euler explicite est :

xn = tn

Donc, pour tout n :

xn = x(tn)

Cela signifie que, pour ce problème particulier, la méthode d’Euler explicite reproduit exactement la solution analytique aux points de discrétisation.

Conclusion

  • La méthode d’Euler explicite donne ici une solution exacte.
  • L’erreur locale de troncature est d’ordre O(h2).
  • La solution numérique coïncide avec la solution exacte aux instants tn.

 

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