Préliminaires d’Analyse pour les Méthodes Numériques

 Objectif du chapitre

Ce chapitre a pour but de rappeler certaines notions fondamentales d’analyse nécessaires à la construction et à l’étude des méthodes numériques. Ces notions constituent la base théorique permettant de comprendre la convergence, la stabilité et la précision des algorithmes numériques.

1. Intervalle réel et fonctions définies sur un intervalle

Soient deux nombres réels a et b tels que :

a < b

L’ensemble des nombres réels compris entre a et b et incluant les bornes est appelé intervalle fermé :

[a, b] = { x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b }

Une fonction réelle définie sur [a,b] est une application :

f : [a, b] → ℝ

À chaque nombre réel x, on associe un réel unique f(x).

2. Fonctions continues et dérivables sur un intervalle

🔹 Fonctions continues

L’ensemble des fonctions continues sur [a,b] est noté :

C([a,b]) = C⁰([a,b])

Cet ensemble désigne l’ensemble des fonctions réelles continues sur [a,b]. La continuité signifie que la courbe de la fonction ne présente ni saut ni trou.

🔹 Fonctions n fois continûment dérivables

Pour tout entier naturel n, on note :

Cⁿ([a,b])

l’ensemble des fonctions définies sur [a,b] qui sont :

• dérivables jusqu’à l’ordre n,
• et dont les dérivées successives jusqu’à l’ordre n sont continues sur [a,b].

Ainsi :

• C¹([a,b]) : fonctions dérivables à dérivée continue
• C²([a,b]) : fonctions deux fois dérivables à dérivées continues

3. Notation des dérivées d’ordre n

Soit une fonction réelle f définie sur [a,b].

🔹 Dérivée d’ordre 0

Par convention : f⁽⁰⁾ = f

🔹 Dérivée première

f⁽¹⁾ = f′

🔹 Dérivée d’ordre n

Lorsque la dérivée existe, on note :

f⁽ⁿ⁾

la dérivée d’ordre n de la fonction f.

Exemples :

• f⁽²⁾ = f″ : dérivée seconde
• f⁽³⁾ = f‴ : dérivée troisième

Ces dérivées jouent un rôle fondamental dans :

• le développement de Taylor,
• l’erreur d’approximation,
• l’analyse de convergence des méthodes numériques.

Remarque importante

Dans la suite des méthodes numériques (résolution d’équations, interpolation, intégration…), on supposera souvent que :

f ∈ Cⁿ([a,b])

pour un certain n, car plus une fonction est régulière, meilleure est l’approximation numérique.

Ce que tu dois retenir

• [a,b] est un intervalle fermé réel
• C([a,b]) : fonctions continues
• Cⁿ([a,b]) : fonctions n fois continûment dérivables
• f⁽ⁿ⁾ : dérivée d’ordre n