Mathématiques

Étude d'une fonction polynomiale du second degré : exemple simple

Parfait Nono
Par Parfait Nono mai 30, 2025


Introduction

L'étude des fonctions polynomiales du second degré est une étape essentielle en mathématiques, notamment au lycée. Ces fonctions permettent de modéliser des situations variées, de l'économie à la physique. Dans cet article, nous allons analyser une fonction trinôme à travers le calcul de ses images en des points précis et l'étude de son sens de variation.

1. Présentation de la fonction

Considérons la fonction suivante :

f(x) = -x² + 4x - 3

Il s'agit d'une fonction polynomiale du second degré (ou trinôme) dont le graphe est une parabole orientée vers le bas (car le coefficient de x² est négatif).

2. Sens de variation

Pour étudier les variations de la fonction, on commence par déterminer le sommet de la parabole, qui se trouve à :

xs = -b / 2a = -4 / (2 × -1) = 2

Cela signifie que :

  • La fonction augmente sur l’intervalle ]−∞ ; 2]
  • Et diminue sur l’intervalle [2 ; +∞[
Le point x = 2 est donc le maximum de la fonction.

3. Calculs de quelques images

Nous allons maintenant calculer les images de certains points par la fonction, notamment f(0) et f(1).

a) Calcul de f(0)

f(0) = -0² + 4×0 - 3 = -3
f(0) = -3

b) Calcul de f(1)

f(1) = -1² + 4×1 - 3 = -1 + 4 - 3 = 0
f(1) = 0

Conclusion

À travers cet exemple simple, nous avons vu comment analyser une fonction polynomiale du second degré :

  • en identifiant son sens de variation grâce à son sommet ;
  • en calculant des images précises pour mieux comprendre son comportement.
Ces notions sont fondamentales pour la suite des études en mathématiques, notamment pour l'étude de courbes plus complexes ou la résolution d'inéquations.

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