Fondement analyse numerique (MMCS)

PROGRAMME STRUCTURÉ de TP Fondement analyse numerique et optimisation

Parfait Nono
Par Parfait Nono avril 03, 2026

Dans cet article je vous presente un programme de travaux pratique en fondement de l'analyse numerique et optimisation.


CHAPITRE 1 : Directions de descente et analyse locale (Exercice 11)

Leçon 1 : Fonction quadratique et gradient

Objectif : Comprendre le rôle du gradient dans l’étude locale d’une fonction.

1. Définition de la fonction

1.1 Fonction quadratique en dimension 2

1.2 Structure analytique de f(x1, x2)

1.3 Interprétation géométrique

2. Gradient et propriétés

2.1 Calcul du gradient

2.2 Interprétation du gradient

2.3 Lien avec la variation de la fonction

Leçon 2 : Directions de descente

Objectif : Identifier et caractériser les directions de descente.

1. Définition

1.1 Condition de descente

1.2 Produit scalaire avec le gradient

1.3 Interprétation géométrique

2. Vérification pratique

2.1 Application aux directions données

2.2 Comparaison des directions

2.3 Notion d’efficacité

Leçon 3 : Direction de plus forte descente

Objectif : Comprendre pourquoi le gradient opposé est optimal.

1. Définition

1.1 Direction −∇f

1.2 Justification mathématique

1.3 Normalisation éventuelle

2. Analyse comparative

2.1 Comparaison avec d2 et d3

2.2 Vitesse de décroissance

2.3 Interprétation

Leçon 4 : Analyse graphique des directions

Objectif : Visualiser l’impact des directions sur la fonction.

1. Paramétrisation

1.1 Fonction f(x0 + αd)

1.2 Rôle du paramètre α

1.3 Domaine d’étude

2. Interprétation des courbes

2.1 Comparaison graphique

2.2 Minimum le long d’une direction

2.3 Remarques globales

CHAPITRE 2 : Méthode de plus forte descente (Exercice 12)

Leçon 1 : Modélisation et simulateur

Objectif : Comprendre l’interface fonction–gradient.

1. Fonction objectif

1.1 Définition de f0

1.2 Structure quadratique

1.3 Propriétés

2. Simulateur

2.1 Rôle d’une fonction Matlab

2.2 Calcul de f et ∇f

2.3 Organisation du code

Leçon 2 : Résolution analytique

Objectif : Trouver le minimum exact.

1. Conditions d’optimalité

1.1 Annulation du gradient

1.2 Résolution du système

1.3 Unicité du minimum

Leçon 3 : Algorithme de plus forte descente

Objectif : Implémenter l’algorithme complet.

1. Direction de descente

1.1 Calcul du gradient

1.2 Définition de la direction

1.3 Interprétation

2. Calcul du pas optimal

2.1 Minimisation sur une droite

2.2 Expression analytique

2.3 Cas quadratique

3. Critère d’arrêt

3.1 Norme du gradient

3.2 Tolérance epsrel

3.3 Convergence

Leçon 4 : Analyse numérique

Objectif : Étudier les performances.

1. Nombre d’itérations

1.1 Lenteur de la méthode

1.2 Influence de la conditionnement

1.3 Interprétation

2. Visualisation

2.1 Courbes de niveau

2.2 Trajectoire des itérés

2.3 Analyse graphique

3. Convergence

3.1 Évolution de f(xk)

3.2 Évolution du gradient

3.3 Échelle logarithmique

CHAPITRE 3 : Condition de Wolfe 1 (Exercice 13)

Leçon 1 : Principe de la condition de Wolfe

Objectif : Comprendre la notion de diminution suffisante.

1. Définition

1.1 Inégalité de Wolfe

1.2 Rôle de β1

1.3 Interprétation

Leçon 2 : Analyse graphique

Objectif : Interpréter les droites et courbes.

1. Courbes

1.1 Fonction f(x0 + αd)

1.2 Droite de Wolfe

1.3 Tangente initiale

2. Influence de β1

2.1 β1 = 0.5

2.2 β1 = 0.1

2.3 Comparaison

CHAPITRE 4 : Condition de Wolfe 2 (Exercice 14)

Leçon 1 : Condition de progrès

Objectif : Comprendre la deuxième condition de Wolfe.

1. Définition

1.1 Inégalité

1.2 Forme équivalente

1.3 Interprétation

Leçon 2 : Analyse du comportement

Objectif : Étudier les courbes obtenues.

1. Étude de la fonction

1.1 Calcul du rapport

1.2 Linéarité

1.3 Justification

2. Choix du pas

2.1 Influence de β2

2.2 Intervalles admissibles

2.3 Cas pratiques

CHAPITRE 5 : Recherche linéaire de Wolfe (Exercice 15)

Leçon 1 : Algorithme de Wolfe

Objectif : Implémenter une recherche linéaire.

1. Principe

1.1 Conditions de Wolfe

1.2 Ajustement du pas

1.3 Stratégies

Leçon 2 : Intégration dans la descente

Objectif : Améliorer l’algorithme de gradient.

1. Modification du code

1.1 Appel à wolfe

1.2 Structure globale

1.3 Comparaison

2. Analyse des performances

2.1 Nombre d’itérations

2.2 Nombre d’évaluations

2.3 Gain global

CHAPITRE 6 : Méthode de Newton (Exercice 16)

Leçon 1 : Hessienne et simulateur étendu

Objectif : Introduire la dérivée seconde.

1. Hessienne

1.1 Définition

1.2 Calcul

1.3 Propriétés

Leçon 2 : Méthode de Newton

Objectif : Comprendre et implémenter Newton.

1. Formulation

1.1 Équation de Newton

1.2 Direction

1.3 Conditions

2. Convergence

2.1 Convergence quadratique

2.2 Conditions favorables

2.3 Limites

Leçon 3 : Analyse sur f1

Objectif : Étudier un cas non trivial.

1. Points critiques

1.1 Calcul analytique

1.2 Classification

1.3 Minima

2. Tests numériques

2.1 Convergence locale

2.2 Sensibilité

2.3 Problèmes globaux

CHAPITRE 7 : Comparaison des méthodes (Exercice 17)

Leçon 1 : Analyse comparative

Objectif : Comparer gradient vs Newton.

1. Méthodes

1.1 Descente de gradient

1.2 Newton

1.3 Différences fondamentales

Leçon 2 : Étude des fonctions f2 et f3

Objectif : Observer les comportements.

1. Analyse des fonctions

1.1 Fonction polynomiale

1.2 Fonction de Rosenbrock

1.3 Difficultés

2. Convergence

2.1 Trajectoires

2.2 Courbes de niveau

2.3 Historique

CHAPITRE 8 : Gauss-Newton et moindres carrés (Exercice 18)

Leçon 1 : Modélisation du problème

Objectif : Comprendre l’ajustement de données.

1. Fonction gaussienne

1.1 Paramètres

1.2 Interprétation

1.3 Contraintes

2. Moindres carrés

2.1 Fonction coût

2.2 Forme vectorielle

2.3 Rôle de h

Leçon 2 : Jacobien et validation

Objectif : Calculer et vérifier Dh.

1. Jacobien

1.1 Définition

1.2 Calcul

1.3 Structure

2. Validation

2.1 Différences finies

2.2 Comparaison

2.3 Interprétation

Leçon 3 : Méthode de Gauss-Newton

Objectif : Implémenter l’algorithme.

1. Principe

1.1 Approximation

1.2 Direction

1.3 Mise à jour

2. Ajustements pratiques

2.1 Réduction du pas

2.2 Recherche linéaire

2.3 Stabilité

 Leçon 4 : Expérimentations

Objectif : Tester et analyser.

1. Cas simples

1.1 Peu de points

1.2 Interprétation

1.3 Résultats

2. Cas bruités

2.1 Données aléatoires

2.2 Robustesse

2.3 Limites



Cétait tout , merci d'avoir regarder et rendez-vous pour la leçon 1.

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