Fondement analyse numerique (MMCS)

Leçon 1 : Fonction quadratique et gradient

Parfait Nono
Par Parfait Nono avril 03, 2026

CHAPITRE 1 : Directions de descente et analyse locale 

Leçon 1 : Fonction quadratique et gradient

Objectif : Comprendre le rôle du gradient dans l’étude locale d’une fonction.

1. Définition de la fonction

1.1 Fonction quadratique en dimension 2

1.2 Structure analytique de f(x1, x2)

1.3 Interprétation géométrique

2. Gradient et propriétés

2.1 Calcul du gradient

2.2 Interprétation du gradient

2.3 Lien avec la variation de la fonction





Par Parfait Nono

Sommaire

  1. Introduction
  2. Définition de la fonction
  3. Gradient et propriétés
  4. Exercices d’application 1
  5. Correction des exercices 1
  6. Exercices d’application 2
  7. Correction des exercices 2
  8. Exercice d’entraînement final

1. Introduction

En analyse numérique, la compréhension des fonctions et de leur comportement local est fondamentale. Une des classes de fonctions les plus importantes est celle des fonctions quadratiques. Elles apparaissent dans l’optimisation, la modélisation et de nombreux algorithmes numériques.

Le concept central de cette leçon est le gradient, qui permet de comprendre comment une fonction varie localement. Nous allons partir d’un niveau débutant pour progresser vers une compréhension experte.

2. Définition de la fonction

2.1 Fonction quadratique en dimension 2

Une fonction quadratique en dimension 2 est une fonction de deux variables définie par :

f(x1, x2) = a x12 + b x22 + c x1x2 + d x1 + e x2 + f

où a, b, c, d, e et f sont des constantes réelles.

2.2 Structure analytique

On peut écrire cette fonction sous forme matricielle :

f(x) = xT A x + BT x + c

avec :

  • x = (x1, x2)T
  • A une matrice symétrique 2×2
  • B un vecteur de dimension 2

2.3 Interprétation géométrique

Géométriquement, une fonction quadratique représente une surface dans ℝ3. Cette surface peut être :

  • un paraboloïde elliptique (minimum global)
  • un paraboloïde hyperbolique (point selle)
  • un paraboloïde dégénéré

3. Gradient et propriétés

3.1 Calcul du gradient

Le gradient d’une fonction f(x1, x2) est défini par :

∇f(x) = ( ∂f/∂x1 , ∂f/∂x2 )

Pour une fonction quadratique :

∂f/∂x1 = 2a x1 + c x2 + d

∂f/∂x2 = 2b x2 + c x1 + e

3.2 Interprétation du gradient

Le gradient indique la direction de la plus forte augmentation de la fonction.

  • Si ∇f(x) = 0 → point critique
  • Si ∇f(x) ≠ 0 → direction de croissance maximale

3.3 Lien avec la variation

La variation de f dans une direction u est donnée par :

Duf(x) = ∇f(x) · u

Cela signifie que le produit scalaire entre le gradient et un vecteur direction donne la variation directionnelle.

4. Exercices d’application 1

Exercice 1 :

  1. Calculer ∇f pour f(x1, x2) = x12 + x22
  2. Évaluer ∇f en (1,1)
  3. Trouver les points critiques
  4. Déterminer la nature du point critique
  5. Interpréter géométriquement

Exercice 2 :

  1. Calculer le gradient de f(x1, x2) = 2x12 + 3x22
  2. Calculer ∇f(0,0)
  3. Donner la direction de plus forte croissance
  4. Calculer la variation directionnelle pour u = (1,0)
  5. Interpréter le résultat

5. Correction des exercices 1

Correction Exercice 1 :

  1. ∇f = (2x1, 2x2)
  2. ∇f(1,1) = (2,2)
  3. 2x1 = 0 et 2x2 = 0 ⇒ (0,0)
  4. Minimum global
  5. Paraboloïde centré à l’origine

Correction Exercice 2 :

  1. ∇f = (4x1, 6x2)
  2. ∇f(0,0) = (0,0)
  3. Direction du gradient
  4. Duf = 4x1
  5. Croissance selon x1

6. Exercices d’application 2

Exercice 3 :

  1. Calculer ∇f pour f = x12 + x1x2
  2. Évaluer en (1,2)
  3. Trouver les points critiques
  4. Étudier la variation
  5. Interpréter

Exercice 4 :

  1. Calculer ∇f pour f = x12 - x22
  2. Trouver les points critiques
  3. Étudier la nature du point
  4. Calculer Duf
  5. Interpréter géométriquement

7. Correction des exercices 2

Correction Exercice 3 :

  1. ∇f = (2x1 + x2, x1)
  2. (4,1)
  3. (0,0)
  4. Variation dépend de x1
  5. Surface inclinée

Correction Exercice 4 :

  1. ∇f = (2x1, -2x2)
  2. (0,0)
  3. Point selle
  4. Dépend de u
  5. Paraboloïde hyperbolique

8. Exercice d’entraînement final

  1. Calculer le gradient de f(x1, x2) = 3x12 + 2x22 + x1x2
  2. Évaluer ∇f en (1,1)
  3. Trouver les points critiques
  4. Étudier la nature du point critique
  5. Interpréter le résultat géométriquement
c'etait tout rendez-vous dans la deuxième leçon.


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