Analyse Fonctionnelle (MMCS)

ANALYSE FONTIONNELLE: LES NORMES

Parfait Nono
Par Parfait Nono mars 04, 2026

1. Exercices d’Application (avec corrigés détaillés)


Exercice d’application 1 : Vérifier qu’une application est une norme

Soit E = ℝ². On définit pour tout (x, y) :

‖(x, y)‖ = |x| + |y|

Montrer qu’il s’agit bien d’une norme sur ℝ².

Correction détaillée

1) Positivité

On sait que |x| ≥ 0 et |y| ≥ 0. Donc |x| + |y| ≥ 0.

De plus : |x| + |y| = 0 ⇔ |x| = 0 et |y| = 0 ⇔ x = 0 et y = 0.

La première propriété est vérifiée.

2) Homogénéité

Soit λ ∈ ℝ.

‖λ(x, y)‖ = |λx| + |λy| = |λ||x| + |λ||y| = |λ|(|x| + |y|) = |λ|‖(x, y)‖

La deuxième propriété est vérifiée.

3) Inégalité triangulaire

Soient (x₁, y₁) et (x₂, y₂).

‖(x₁ + x₂, y₁ + y₂)‖ = |x₁ + x₂| + |y₁ + y₂|

Or on sait que : |a + b| ≤ |a| + |b|

Donc : |x₁ + x₂| ≤ |x₁| + |x₂| |y₁ + y₂| ≤ |y₁| + |y₂|

En additionnant :

‖(x₁ + x₂, y₁ + y₂)‖ ≤ |x₁| + |x₂| + |y₁| + |y₂| = ‖(x₁, y₁)‖ + ‖(x₂, y₂)‖

La troisième propriété est vérifiée.

Conclusion : C’est bien une norme sur ℝ².

Exercice d’application 2 : Calculer une distance

Dans ℝ² muni de la norme euclidienne :

‖(x, y)‖ = √(x² + y²)

Calculer la distance entre A(1,2) et B(4,6).

Correction détaillée

Distance :

d(A,B) = ‖B − A‖

B − A = (4−1, 6−2) = (3,4)

‖(3,4)‖ = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Réponse : la distance est 5.

Exercice d’application 3 : Montrer qu’un espace est complet

Montrer que ℝ est complet pour la valeur absolue.

Correction expliquée simplement

On sait (théorème fondamental de l’analyse) que : Toute suite de Cauchy réelle converge vers un réel.

Donc ℝ est complet.

Cela signifie :

Si |xₙ − xₘ| devient arbitrairement petit, alors la suite converge.

2. Retour à l’Exercice 1 (Correction principale approfondie)

Maintenant que tu as compris :

  • Ce qu’est une norme
  • Ce qu’est une distance
  • Ce qu’est la complétude

Nous pouvons corriger l’exercice 1 de la fiche.

Exercice 1 (rappel)

Montrer que si (E, ‖·‖) est un espace normé complet, alors toute suite de Cauchy converge dans E.

Correction pas à pas

Par définition :

E est complet ⇔ toute suite de Cauchy converge.

Donc si on suppose que E est complet, alors toute suite de Cauchy converge dans E.

La démonstration est immédiate car c’est la définition même de la complétude.

3. Synthèse Finale

Dans cette première leçon, nous avons appris :

  • Ce qu’est un espace vectoriel
  • Ce qu’est une norme
  • Comment vérifier les propriétés d’une norme
  • Ce qu’est une distance
  • Ce qu’est une suite de Cauchy
  • Ce qu’est un espace complet
  • Ce qu’est un espace de Banach

Si tu comprends parfaitement cette leçon, tu es prêt à aborder :

  • Les applications linéaires continues
  • Les théorèmes fondamentaux (Banach-Steinhaus, etc.)
  • Les espaces de Hilbert

Mot de l’auteur

Cet article a été rédigé par PARFAIT NONO, dans le but d’aider les étudiants débutants à comprendre progressivement l’Analyse Fonctionnelle.

Ne te décourage pas. L’analyse fonctionnelle semble difficile au début, mais avec des bases solides, tout devient clair.

Dans la prochaine leçon, nous verrons :

Les applications linéaires continues et leur norme.

À très bientôt pour la suite.


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