Analyse Fonctionnelle (MMCS)

Analyse Fonctionnelle: Les Applications Linéaires Continues et leur Norme

Parfait Nono
Par Parfait Nono mars 04, 2026


Leçon 2 : Les Applications Linéaires Continues et leur Norme

Article rédigé par PARFAIT NONO


I. Sommaire

  • Introduction
  • Objectifs de la leçon
  • Prérequis indispensables
  • Rappel : espace vectoriel et espace normé
  • Définition d’une application linéaire
  • Définition de la continuité
  • Lien entre continuité et bornitude
  • Norme d’une application linéaire
  • Exemples détaillés
  • Exercices d’application avec corrigés
  • Correction finale d’un exercice type
  • Synthèse

II. Introduction

Dans la leçon précédente, nous avons étudié les espaces normés et les espaces de Banach. Aujourd’hui, nous allons répondre à une question fondamentale :

Comment mesurer la taille d’une application linéaire ?

Autrement dit :

  • Quand une application linéaire est-elle continue ?
  • Comment calculer sa norme ?
  • Pourquoi la continuité est-elle équivalente à une inégalité ?

Cette leçon est essentielle. Toute l’analyse fonctionnelle repose dessus.

III. Objectifs

À la fin de cette leçon, tu dois être capable de :

  • Définir une application linéaire
  • Comprendre la notion de continuité
  • Montrer qu’une application linéaire continue est bornée
  • Calculer la norme d’un opérateur
  • Résoudre des exercices simples sur les opérateurs

IV. Prérequis indispensables

Avant de continuer, tu dois connaître :

  • La définition d’un espace vectoriel
  • La définition d’une norme
  • La définition d’une suite convergente
  • La notion de limite

Si ces notions ne sont pas claires, retourne à la leçon 1.

V. Rappel : Espace Normé

Un espace normé est un espace vectoriel E muni d’une norme ‖·‖.

La norme permet de mesurer la longueur d’un vecteur.

VI. Définition d’une Application Linéaire

Soient E et F deux espaces vectoriels. Une application T : E → F est linéaire si :

  • T(x + y) = T(x) + T(y)
  • T(λx) = λT(x)

Autrement dit, T respecte l’addition et la multiplication par un scalaire.

Exemple simple

T : ℝ² → ℝ² définie par :

T(x, y) = (2x, 3y)

Vérifions la linéarité :

T((x₁,y₁)+(x₂,y₂)) = T(x₁+x₂, y₁+y₂) = (2(x₁+x₂), 3(y₁+y₂)) = (2x₁,3y₁) + (2x₂,3y₂)

Donc T est linéaire.

VII. Continuité d’une Application Linéaire

Définition générale : T est continue en x₀ si :

xₙ → x₀ ⇒ T(xₙ) → T(x₀)

Mais en analyse fonctionnelle, miracle :

Théorème fondamental

Pour une application linéaire :

Continuité ⇔ Il existe C > 0 tel que ‖Tx‖ ≤ C‖x‖

Autrement dit :

Une application linéaire est continue si et seulement si elle est bornée.

VIII. Norme d’une Application Linéaire

On définit la norme de T par :

‖T‖ = sup { ‖Tx‖ : ‖x‖ ≤ 1 }

Cela signifie :

On regarde l’image de tous les vecteurs de norme ≤ 1, et on prend le plus grand.

C’est la constante minimale C telle que :

‖Tx‖ ≤ C‖x‖

IX. Exemple Complet

Soit T : ℝ² → ℝ² définie par :

T(x, y) = (2x, 3y)

On travaille avec la norme euclidienne.

‖T(x,y)‖² = (2x)² + (3y)² = 4x² + 9y²

On cherche le maximum sous la contrainte : x² + y² ≤ 1.

Le maximum est 9 (quand y=1). Donc :

‖T‖ = 3

X. Exercices d’Application

Exercice 1

Soit T : ℝ → ℝ définie par T(x) = 5x. Calculer ‖T‖.

Correction

‖T(x)‖ = |5x| = 5|x|

Donc :

‖T‖ = 5

Exercice 2

Montrer que si ‖Tx‖ ≤ 4‖x‖ pour tout x, alors T est continue.

Correction

On a exactement la condition : ‖Tx‖ ≤ C‖x‖

Donc T est bornée. Donc T est continue.

XI. Exercice Principal Corrigé

Montrer que toute application linéaire continue en 0 est continue partout.

Correction détaillée

Supposons T continue en 0.

Soit x₀ ∈ E. On écrit :

T(x) − T(x₀) = T(x − x₀)

Si x → x₀, alors x − x₀ → 0.

Donc T(x − x₀) → 0.

Donc T(x) → T(x₀).

Ainsi, T est continue partout.

XII. Synthèse

Dans cette leçon, nous avons appris :

  • La définition d’une application linéaire
  • La définition de la continuité
  • L’équivalence continuité ⇔ bornitude
  • La norme d’un opérateur
  • Comment calculer cette norme

Cette notion est fondamentale pour la suite :

  • Théorème de Banach-Steinhaus
  • Théorème de l’application ouverte
  • Théorème du graphe fermé

Mot de l’auteur

Cette leçon a été rédigée par PARFAIT NONO pour accompagner pas à pas les étudiants débutants.

Dans la prochaine leçon, nous verrons :

Les Espaces de Hilbert et le Produit Scalaire.

Continue à travailler progressivement. L’analyse fonctionnelle devient claire avec de la méthode.


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