Algebre tensorielle

Introduction générale du cours

Par Parfait Nono

La mécanique des milieux continus (MMC) est une discipline qui permet de modéliser le comportement des matériaux (solides ou fluides) en supposant qu’ils sont continus, c’est-à-dire sans structure microscopique apparente. Cette hypothèse simplifie l’analyse et permet d’utiliser des outils mathématiques puissants pour décrire les phénomènes physiques.

Dans ce cours, nous allons progressivement construire les outils nécessaires pour :

• décrire les mouvements d’un milieu (cinématique),
• quantifier les déformations,
• analyser les contraintes internes,
• établir les lois de comportement.

Avant d’aborder ces notions physiques, il est indispensable de maîtriser le langage mathématique utilisé en MMC, à savoir l’algèbre tensorielle. Cette première leçon constitue donc une base fondamentale pour tout le reste du cours.

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Chapitre 1 — Fondamentaux mathématiques et notations

Leçon 1 — Rappels d’algèbre tensorielle

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Objectifs

• Comprendre la notion de scalaire, vecteur et tenseur
• Identifier l’ordre d’un tenseur
• Maîtriser la notation indicielle
• Utiliser les symboles de Kronecker et de Levi-Civita
• Effectuer les opérations de base sur les tenseurs

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1. Définitions générales

1.1 Scalaire, vecteur, tenseur

Un scalaire est une grandeur décrite par un seul nombre. Il ne dépend pas d’une direction. Par exemple, la température ou la masse sont des scalaires.

Un vecteur est une grandeur caractérisée par une direction, un sens et une norme. Par exemple, une vitesse ou une force.

Un tenseur est une généralisation des scalaires et des vecteurs. Il permet de représenter des relations entre plusieurs directions. En mécanique des milieux continus, les tenseurs décrivent par exemple les contraintes et les déformations.

Exemple 1

On considère les objets suivants :

( T = 10 )
( v = (2, -1, 3) )

Questions :

1. Identifier la nature de ( T )
2. Identifier la nature de ( v )
3. Donner le nombre de composantes de ( v )

Correction détaillée :

1. ( T = 10 ) est un nombre unique, sans direction.
   Donc ( T ) est un scalaire.
2. ( v = (2, -1, 3) ) possède trois composantes associées à trois directions de l’espace.
   Donc ( v ) est un vecteur.
3. Le nombre de composantes de ( v ) correspond à la dimension de l’espace considéré.
   Ici, l’espace est tridimensionnel, donc ( v ) possède 3 composantes.

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1.2 Ordre d’un tenseur

L’ordre d’un tenseur correspond au nombre d’indices nécessaires pour le décrire.

• Un scalaire est d’ordre 0
• Un vecteur est d’ordre 1
• Une matrice est d’ordre 2

Exemple 2

On considère la matrice suivante :

A =

1	2	0
3	-1	4
2	5	1

Questions :

1. Quelle est la nature de ( A ) ?
2. Quel est son ordre ?
3. Combien possède-t-il de composantes ?

Correction détaillée :

1. ( A ) est une matrice. En MMC, une matrice représente un tenseur.
   Donc ( A ) est un tenseur.
2. Les composantes de ( A ) s’écrivent ( A_ij ), avec deux indices.
   Donc ( A ) est un tenseur d’ordre 2.
3. La matrice est de dimension 3×3, donc elle possède ( 3 × 3 = 9 ) composantes.

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1.3 Représentation matricielle

Un tenseur d’ordre 2 peut être représenté sous forme matricielle :

T11	T12	T13
T21	T22	T23
T31	T32	T33

Chaque composante ( T_ij ) dépend de deux indices :

• le premier indique la ligne,
• le second indique la colonne.

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2. Notation indicielle

2.1 Convention d’Einstein

La convention d’Einstein consiste à supprimer le symbole de somme lorsqu’un indice est répété deux fois dans une expression.

a_i b_i = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

Exemple 3

a = (1, 2, 3),    b = (4, -1, 2)

Calcul :

a_ib_i = 1×4 + 2×(-1) + 3×2 = 4 - 2 + 6 = 8

Donc ( a_ib_i = 8 ).

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2.2 Symbole de Kronecker

δ_ij =

1 si i = j
0 sinon

Exemple 4

δ_ija_j = a_i

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2.3 Symbole de Levi-Civita

ε_ijk :

• +1 pour une permutation paire
• -1 pour une permutation impaire
• 0 si deux indices sont égaux

ε₁₂₃ = 1
ε₁₃₂ = -1
ε₁₁₂ = 0

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3. Opérations sur les tenseurs

3.1 Produit tensoriel

(a ⊗ b)_ij = a_ib_j

Exemple 6

0	1	-1
0	2	-2
0	3	-3

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3.2 Contraction

A_ii = A₁₁ + A₂₂ + A₃₃ = 2 + 3 + 5 = 10

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3.3 Produit double

A : B = A_ijB_ij

= 1×2 + 2×0 + 0×1 + 0×1 + 3×(-1) + 1×2 + 2×0 + 1×3 + 4×1 = 8

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Exercices d’application

Exercice 1

a = (1, -2, 3),   b = (2, 0, -1)

1. Déterminer la nature de ( a ) et ( b )
2. Calculer a_ib_i
3. Calculer δ_ijb_j
4. Calculer a_ib_j
5. Donner l’ordre de a_ib_j

Correction :

a_ib_i = -1

δ_ijb_j = b_i

2	0	-1
-4	0	2
6	0	-3

ordre 2

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Exercice 2

Calculs :

A_ii = 0
B_ii = 7
A : B = -4
ordre 2
δ_ijA_ij = A_ii = 0

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Exercice de synthèse

a = (2,1,-1)

3	0	1
2	-2	4
1	3	5

1. Calculer a_ia_i
2. Calculer A_ii
3. Calculer A_ija_j
4. Donner la nature de A_ija_j
5. Calculer A_ija_ia_j

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Conclusion

Cette leçon constitue le socle mathématique de toute la mécanique des milieux continus. La maîtrise des tenseurs, de la notation indicielle et des opérations associées est indispensable pour aborder les notions de déformation et de contrainte.

Une compréhension solide de ces outils garantit une progression fluide vers les chapitres suivants, où ces concepts seront appliqués à des situations physiques concrètes.

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