MATLAB visualisation

Leçon 1.5 : Implémentation et visualisation

Objectif

Acquérir les compétences pratiques pour programmer et analyser les méthodes de descente.

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1. Architecture du code

5.1.1 Structure modulaire

On sépare le code en fonctions :

• Calcul du gradient
• Calcul de la direction
• Recherche linéaire
• Condition d’arrêt
• Visualisation

5.1.2 Interface simulateur

Permet de lancer différentes méthodes et de choisir :

• Point initial
• Fonction objectif
• Méthode (gradient, Newton)
• Paramètres de convergence

5.1.3 Gestion des sorties

On conserve :

• Valeurs des itérés x_k
• Valeur de f(x_k)
• Norme du gradient ||∇f(x_k)||

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2. Visualisation des résultats

5.2.1 Tracé des courbes de niveau

Pour f(x,y), on représente les lignes de même valeur :

f(x,y) = c

5.2.2 Superposition des itérés

On trace les points x_k successifs pour observer la trajectoire :

• Gradient : trajectoire en zigzag
• Newton : trajectoire directe

5.2.3 Échelles semi-logarithmiques

Permet de mieux visualiser la décroissance du gradient ou de f(x_k) :

y = log(||∇f(x_k)||)

5.2.4 Interprétation graphique

Identifier :

• Zones de convergence rapide
• Oscillations
• Impact du pas α

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3. Exercices corrigés

Exercice 1

Énoncé : Implémenter la méthode du gradient pour f(x,y) = x² + y², départ x₀ = (2,1), α = 0.1, critère d’arrêt ||∇f|| < 0.01

1. Calculer les 3 premiers itérés x_k
2. Tracer la trajectoire sur le plan
3. Observer la norme du gradient
4. Comparer avec le minimum théorique
5. Conclusion

Correction :

1. Gradient : ∇f = (2x,2y)
2. x₀ = (2,1) → ∇f = (4,2) → x₁ = (2,1) - 0.1*(4,2) = (1.6,0.8)
3. x₁ → ∇f = (3.2,1.6) → x₂ = (1.6,0.8) - 0.1*(3.2,1.6) = (1.28,0.64)
4. x₂ → ∇f = (2.56,1.28) → x₃ = (1.28,0.64) - 0.1*(2.56,1.28) = (1.024,0.512)
5. Minimum théorique : (0,0) ; convergence observée

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Exercice 2

Énoncé : Implémenter la méthode de Newton pour f(x,y) = x² + y², départ x₀ = (1,1)

1. Calculer le gradient et la hessienne
2. Calculer la direction de Newton
3. Faire une itération
4. Observer la convergence
5. Conclusion

Correction :

1. Gradient : ∇f = (2x,2y), Hessienne : H = [[2,0],[0,2]]
2. Direction : d = − H⁻¹ ∇f = − (1/2)*(2,2) = (−1,−1)
3. x₁ = x₀ + d = (0,0)
4. Gradient ||∇f(x₁)|| = 0 → convergence en 1 itération
5. Newton converge très rapidement

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Exercice 3

Énoncé : Comparer trajectoires pour f(x,y) = x² + 5y², départ (1,2), pas α = 0.1, méthode gradient vs Newton

1. Calculer les premiers itérés pour gradient
2. Calculer les premiers itérés pour Newton
3. Tracer les trajectoires
4. Observer les différences
5. Conclusion

Correction :

1. Gradient : ∇f = (2x,10y), x₀=(1,2), x₁ = (1−0.1*2,2−0.1*10*2) = (0.8,0)
2. Newton : H = [[2,0],[0,10]] → d = − H⁻¹ ∇f = − (1,0) → x₁ = (0,2)
3. Trajectoire : gradient zigzag, Newton plus direct
4. Observation : Newton plus rapide et stable
5. Conclusion : visualisation permet de comprendre efficacité et comportement des méthodes

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Exercices d’entraînement

Exercice A

• f(x,y) = x² + 2y²
• Départ x₀ = (3,1)
• Méthode gradient, pas 0.1, critère ||∇f|| < 0.01
• Tracer trajectoire
• Commenter convergence

Exercice B

• f(x,y) = x² + 4y²
• Départ x₀ = (1,2)
• Méthode Newton
• Comparer avec gradient
• Analyser trajectoire et vitesse de convergence