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Étude détaillée de la distribution PV(1/x)

Nous allons travailler correctement et progressivement sur l’exercice 4 de la page 2.

Plan de travail :

• 1️⃣ Recopie claire de l’exercice
• 2️⃣ Rappel de cours complet pour débutant (distributions, valeur principale, ordre)
• 3️⃣ Résolution détaillée

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1. Recopie de l’exercice 4 (page 2)

Exercice 4

On définit la distribution :

vp(1/x)

de D(ℝ) vers ℝ par :

< vp(1/x), φ > = lim_{ε → 0+} ∫_{|x| > ε} (φ(x)/x) dx

1. Montrer que pour φ ∈ D(ℝ) la quantité
   
   < vp(1/x), φ >
   
   est bien définie.


2. Montrer que la distribution
   
   vp(1/x)
   
   est une distribution d'ordre inférieur ou égal à 1.


3. On considère une suite (φ_n) dans D(ℝ) telle que :
   • 0 ≤ φ_n ≤ 1
   • Supp(φ_n) ⊂ [1/(2n), 2]
   • φ_n(x) = 1 pour x ∈ [1/n , 1]
   Montrer que la distribution vp(1/x) est exactement d’ordre 1.


4. Déterminer la dérivée de la distribution vp(1/x).

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2. Rappel de cours (pour débutant)

2.1 Espace des fonctions test

On note :

D(ℝ) = C^∞_c(ℝ)

Ce sont les fonctions :

• infiniment dérivables
• à support compact

Exemple :

φ(x) = e^-1/(1-x²) pour |x| < 1 et 0 sinon.

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2.2 Définition d’une distribution

Une distribution est une application linéaire continue :

T : D(ℝ) → ℝ

On note son action :

<T , φ>

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2.3 Fonction localement intégrable

Si une fonction f est localement intégrable alors :

<T_f, φ> = ∫ f(x)φ(x) dx

définit une distribution.

Exemple :

f(x) = |x|

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2.4 Problème avec 1/x

La fonction :

1/x

n’est pas intégrable en 0.

On introduit donc une notion appelée :

Valeur principale de Cauchy.

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2.5 Valeur principale

On définit :

PV(1/x)

par :

lim_ε→0 ∫_{|x| > ε} φ(x)/x dx

C’est exactement la distribution introduite dans l’exercice.

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2.6 Ordre d’une distribution

Une distribution est d’ordre m si :

|<T , φ>| ≤ C Σ_{k ≤ m} sup |φ^(k)|

Exemples :

• ordre 0 : fonction régulière
• ordre 1 : dérivée de Dirac

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2.7 Dérivée d’une distribution

La dérivée d’une distribution est définie par :

<T' , φ> = - <T , φ'>

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3. Résolution

Question 1

On doit montrer que la limite suivante existe :

lim_ε→0 ∫_{|x| > ε} φ(x)/x dx

Décomposition

Comme la fonction φ est dérivable on peut écrire :

φ(x) = φ(0) + xψ(x)

Donc :

φ(x)/x = φ(0)/x + ψ(x)

Intégrale

∫_{|x| > ε} φ(x)/x dx

devient :

φ(0) ∫_{|x| > ε} 1/x dx + ∫_{|x| > ε} ψ(x) dx

Or :

∫_-a^-ε 1/x dx + ∫_ε^a 1/x dx = 0

La première partie disparaît.

La seconde est finie.

La limite existe donc.

La distribution est bien définie.

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Question 2

On veut montrer que l’ordre est ≤ 1.

On utilise :

φ(x) = φ(0) + xψ(x)

avec :

|ψ(x)| ≤ sup |φ'|

Donc :

|<PV(1/x) , φ>| ≤ C sup |φ'|

Conclusion :

ordre ≤ 1

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Question 3

On construit une suite φ_n telle que :

φ_n = 1 sur [1/n , 1]

Alors :

<T , φ_n> = ∫_1/n¹ 1/x dx

Or :

∫_1/n¹ 1/x dx = ln(1) − ln(1/n) = ln(n)

Donc :

<T , φ_n> = ln(n)

qui diverge quand n → ∞.

Mais :

sup |φ_n| ≤ 1

Donc la distribution ne peut pas être d’ordre 0.

Conclusion :

ordre exactement 1

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Question 4

On calcule la dérivée :

PV(1/x)'

Par définition :

<T' , φ> = − <T , φ'>

Après calcul classique en théorie des distributions :

(PV(1/x))' = − PV(1/x²)

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Résultat final

La distribution :

PV(1/x)

s'appelle la valeur principale de Cauchy.

• ✔ elle est bien définie
• ✔ son ordre est 1
• ✔ sa dérivée est −PV(1/x²)

Cette distribution apparaît très souvent dans l’analyse fonctionnelle avancée et dans les équations aux dérivées partielles.