Analyse Fonctionnelle (MMCS)

Analyse Fonctionnelle (MMCS): Addition, Multiplication par un scalaire et Applications linéaire sur les ensemble.

Parfait Nono
Par Parfait Nono février 27, 2026

Leçon 1 : Notations et opérations sur les ensembles


Niveau : Débutant – Fondements des espaces vectoriels topologiques

Par Parfait Nono 

Sommaire

  1. Introduction pédagogique
  2. Notations fondamentales
  3. Opérations sur les parties d’un espace vectoriel
  4. Propriétés essentielles à connaître
  5. Lien avec les applications linéaires
  6. Exercices d’application corrigés
  7. Exercices classiques inspirés de documents académiques
  8. Exercices d’entraînement (à me soumettre)

1. Introduction pédagogique

Avant de parler d’espaces vectoriels topologiques, il faut maîtriser les opérations de base sur les ensembles.

Un espace vectoriel est un ensemble dans lequel on peut :

  • additionner des vecteurs
  • multiplier un vecteur par un scalaire

Mais ici, nous n’allons pas additionner seulement des vecteurs… Nous allons additionner des ensembles de vecteurs.

C’est une idée extrêmement importante en analyse fonctionnelle.

2. Notations fondamentales

2.1 Somme de deux parties

Soient A et B deux parties d’un espace vectoriel X.

Définition :

A + B = { x ∈ X | x = a + b avec a ∈ A et b ∈ B }

👉 Cela signifie : on prend tous les éléments possibles de A, on les additionne avec tous ceux de B.

Exemple simple :

Dans ℝ², si A = {(1,0)} et B = {(0,1)}

Alors :

A + B = {(1,1)}


2.2 Multiplication d’un ensemble par un scalaire

Soit λ un nombre réel.

Définition :

λA = { λa | a ∈ A }

On multiplie chaque élément de A par λ.

Exemple :

Si A = {(1,2)}, alors

2A = {(2,4)}

3. Opérations importantes

Ces opérations vérifient certaines règles fondamentales.

3.1 Commutativité

A + B = B + A


3.2 Associativité

(A + B) + C = A + (B + C)


3.3 Distributivité par rapport au scalaire

λ(A + B) = λA + λB


3.4 Inclusion importante

(λ + μ)A ⊂ λA + μA

⚠️ Attention : ce n’est pas toujours une égalité !

4. Ce qu’il faut absolument comprendre

Lorsque l’on manipule des ensembles :

  • les égalités deviennent parfois des inclusions
  • il faut toujours vérifier les deux sens

C’est une erreur fréquente chez les débutants.

5. Lien avec les applications linéaires

Soit f : X → Y une application linéaire.

Alors :

f(A + B) = f(A) + f(B)

f(λA) = λ f(A)

Ces propriétés seront fondamentales dans toute la suite du cours.

6. Exercices d’application corrigés

Exercice 1

Soit A = {(1,0),(0,1)} dans ℝ². Calculer A + A.

Corrigé :

On additionne toutes les combinaisons possibles :

  • (1,0)+(1,0) = (2,0)
  • (1,0)+(0,1) = (1,1)
  • (0,1)+(1,0) = (1,1)
  • (0,1)+(0,1) = (0,2)

Donc :

A + A = {(2,0),(1,1),(0,2)}


Exercice 2

Montrer que λ(A ∪ B) = λA ∪ λB.

Corrigé :

Si x ∈ λ(A ∪ B), alors x = λa avec a ∈ A ou B. Donc x ∈ λA ou λB.

On a bien l’égalité.

7. Exercices classiques inspirés de documents académiques

Exercice 3 (classique d’analyse fonctionnelle)

Montrer que :

(A ∪ B) + (A ∪ B) ⊃ (A + A) ∪ (B + B)

Corrigé :

Si x ∈ A+A, alors x = a₁ + a₂, avec a₁,a₂ ∈ A ⊂ A∪B. Donc x ∈ (A∪B)+(A∪B).

Même raisonnement pour B.


Exercice 4 (document universitaire standard)

Soit f linéaire. Montrer que :

f(λA) = λf(A)

Corrigé :

f(λa) = λf(a) par linéarité. Donc les deux ensembles coïncident.

8. Exercices d’entraînement (à me soumettre avant la leçon 2)

Exercice A

Dans ℝ² : A = {(x,0)} B = {(0,y)} Décrire A + B.


Exercice B

Montrer ou infirmer :

(A ∩ B) + C = (A + C) ∩ (B + C)


Exercice C

f⁻¹(A + B) ⊃ f⁻¹(A) + f⁻¹(B)

L’inclusion inverse est-elle vraie ?

Important

👉 Résous les exercices A, B et C. Envoie-moi tes solutions. Nous les corrigerons avant de passer à la leçon 2.



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