Mathématiques

Cours : Résolution d'une Équation Différentielle du Second Ordre par la Méthode des Différences Finies

Parfait Nono
Par Parfait Nono juillet 09, 2025

1. Introduction

Les équations différentielles modélisent de nombreux phénomènes physiques (chaleur, électricité, mécanique…). Lorsqu’on ne peut pas trouver de solution exacte, on utilise des méthodes numériques pour approximer la solution. L’une des plus simples est la méthode des différences finies, adaptée aux équations différentielles ordinaires (EDO).

2. Le problème général

On s’intéresse à une équation de la forme suivante :

–u″(x) + c·u(x) = f(x)

sur un intervalle [a, b], avec les conditions aux limites :

u(a) = A,    u(b) = B

3. Principe de la méthode des différences finies

3.1. Discrétisation de l’intervalle

On découpe l’intervalle [a, b] en (N+1) sous-intervalles égaux. On note :

  • h = (b – a) / (N + 1) : le pas
  • x0 = a, x1 = a + h, ..., xN+1 = b
  • ui ≈ u(xi) : valeur approchée de u au point xi

Les valeurs u0 = A et uN+1 = B sont connues.

3.2. Approximations par différences finies

On remplace la dérivée seconde u″(xi) par :

u″(xi) ≈ (ui–1 – 2ui + ui+1) / h2

L’équation devient :

–(ui–1 – 2ui + ui+1) / h2 + c·ui = f(xi)

3.3. Système d'équations linéaires

Pour i = 1 à N, on obtient une équation :

–(1/h2)·ui–1 + (2/h2 + c)·ui – (1/h2)·ui+1 = f(xi)

Cela donne un système de N équations à N inconnues : u1, u2, ..., uN.

Ce système peut s’écrire sous forme matricielle :

Ah · Uh = Fh

4. Construction du système matriciel

4.1. Matrice Ah

Matrice tridiagonale (non nulle seulement sur 3 diagonales) : 

      | α    β    0    ...    0 |
      | β    α    β    ...    0 |
      | 0    β    α    ...    0 |
      | .    .    .     .     . |
      | 0    0    ...   β     α |

avec : α = 2/h2 + c,    β = –1/h2

4.2. Vecteur inconnu Uh

Uh = (u1, u2, ..., uN)T

4.3. Second membre Fh

Fh = 

    | f(x1) + (1/h2)·u0 |
    | f(x2)                                   |
    | ...                                               |
    | f(xN) + (1/h2)·uN+1 |

5. Résolution numérique

Une fois Ah et Fh construits, on résout le système Ah·Uh = Fh (à la main si petit, ou avec un logiciel comme Python ou Scilab).

6. Propriétés de la matrice Ah

  • Tridiagonale : seules 3 diagonales contiennent des valeurs non nulles
  • Symétrique : les éléments sont égaux de part et d’autre de la diagonale
  • Définie positive : assure l’existence et l’unicité de la solution
  • Monotone : si Fh ≥ 0, alors Uh ≥ 0

7. Exemple (à faire soi-même)

Résoudre : –u″(x) + 0,7·u(x) = sin(π·x), avec u(0) = 1, u(1) = 0, et N = 4.

8. Exercices

  • Exercice 1 : –u″(x) + u(x) = x2, u(0) = 0, u(1) = 1, N = 5
  • Exercice 2 : –u″(x) + 0,5·u(x) = ex, u(0) = 2, u(1) = 0, N = 4



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